Soal Berusia Berabad-abad Masih Mengungkapkan Jawaban dalam Matematika Dasar


Soal Berusia Berabad-abad Masih Mengungkapkan Jawaban dalam Matematika Dasar

Baru-baru ini para ahli matematika telah mencapai banyak kemajuan dalam pertanyaan yang disebut dugaan Mordell, yang diajukan satu abad yang lalu.

Representasi konseptual menunjukkan seorang anak laki-laki berkemeja biru menghadap kamera, mengerjakan matematika.

Seorang anak laki-laki di papan tulis mengerjakan representasi konseptual matematika.

Gambar Justin Lewis/Getty

Setelah matematikawan Jerman Gerd Faltings membuktikan dugaan Mordell pada tahun 1983, ia dianugerahi Fields Medal, yang sering disebut sebagai “Hadiah Nobel Matematika”. Dugaan menggambarkan himpunan kondisi di mana persamaan polinomial dalam dua variabel (seperti X2 + kamu4 = 4) dijamin hanya memiliki sejumlah solusi terbatas yang dapat ditulis sebagai pecahan.

Bukti Faltings menjawab pertanyaan-pertanyaan yang terbuka sejak awal tahun 1900-an. Selain itu, hal ini membuka pintu matematika baru bagi pertanyaan-pertanyaan lain yang belum terjawab, banyak di antaranya masih dieksplorasi oleh para peneliti hingga saat ini. Dalam beberapa tahun terakhir, para ahli matematika telah mencapai kemajuan yang menggembirakan dalam memahami cabang-cabang ini dan implikasinya terhadap matematika dasar.

Pembuktian dugaan Mordell melibatkan situasi berikut: Misalkan persamaan polinomial dua variabel mendefinisikan garis lengkung. Pertanyaan yang menjadi inti dugaan Mordell adalah: Apa hubungan antara genus kurva dan jumlah solusi rasional yang ada untuk persamaan polinomial yang mendefinisikannya? Genus adalah properti yang terkait dengan eksponen tertinggi dalam persamaan polinomial yang menggambarkan kurva. Ini adalah properti invarian, artinya tetap sama meskipun operasi atau transformasi tertentu diterapkan pada kurva.


Tentang mendukung jurnalisme sains

Jika Anda menyukai artikel ini, pertimbangkan untuk mendukung jurnalisme pemenang penghargaan kami dengan berlangganan. Dengan membeli langganan, Anda membantu memastikan masa depan cerita yang berdampak tentang penemuan dan ide yang membentuk dunia kita saat ini.


Ternyata, jawaban atas pertanyaan utama dugaan Mordell adalah jika kurva aljabar bergenus dua atau lebih besar, maka akan terdapat sejumlah solusi rasional yang terbatas terhadap persamaan polinomial tersebut. (Bilangan ini tidak termasuk solusi yang merupakan kelipatan dari solusi lainnya.) Untuk kurva bergenus nol atau bergenus satu, terdapat banyak sekali solusi rasional.

“Lebih dari 100 tahun yang lalu, Mordell memperkirakan bahwa genus ini mengatur terbatas atau tak terbatasnya titik-titik rasional pada salah satu kurva ini,” kata Holly Krieger, ahli matematika di Universitas Cambridge. Pertimbangkan satu hal (X, kamu). Jika keduanya X Dan kamu adalah bilangan yang dapat dituliskan sebagai pecahan, maka (X, kamu) adalah poin rasional. Misalnya, (133) merupakan titik rasional, tetapi (√2, 3) bukan. Gagasan Mordell berarti bahwa “jika genus Anda cukup besar, kurva Anda akan rumit secara geometris,” kata Krieger. Dia memberikan kuliah tamu pada Pertemuan Gabungan Matematika 2024 tentang sejarah dugaan Mordell dan beberapa karya setelahnya.

Bukti yang salah membuka kemungkinan baru untuk mengeksplorasi pertanyaan yang berkembang berdasarkan dugaan Mordell. Salah satu pertanyaan yang menarik—dugaan Seragam Mordell-Lang—dikemukakan pada tahun 1986, pada tahun yang sama ketika Faltings dianugerahi Fields Medal.

Dugaan Seragam Mordell-Lang, yang dipelopori oleh Barry Mazur dari Universitas Harvard, “dibuktikan dalam serangkaian makalah yang berpuncak pada tahun 2021,” kata Krieger. Karya empat matematikawan—Vesselin Dimitrov dari California Institute of Technology, Ziyang Gao dari University of California, Los Angeles, dan Philipp Habegger dari University of Basel di Swiss, yang merupakan kolaborator, dan Lars Kühne dari University College Dublin, yang dikerjakan secara individual—mengarah pada pembuktian dugaan tersebut.

Untuk dugaan Uniform Mordell-Lang, ahli matematika bertanya: Apa yang terjadi jika Anda memperluas diskusi matematika dengan memasukkan objek berdimensi lebih tinggi? Jadi, apa yang dapat dikatakan tentang hubungan antara jenis objek matematika dan jumlah titik rasional yang terkait? Jawabannya, ternyata, adalah batas atas—artinya jumlah tertinggi yang mungkin—dari titik-titik rasional yang diasosiasikan dengan sebuah kurva atau objek berdimensi lebih tinggi seperti permukaan yang hanya bergantung pada genus objek tersebut. Untuk permukaan, genusnya sesuai dengan jumlah lubang di permukaan.

Namun, ada peringatan penting, menurut Dimitrov, Gao dan Habegger. “Objek geometris (kurva, permukaan, lipatan tiga, dll.) [must] terkandung dalam ruang ambien yang sangat khusus, yang disebut varietas abelian,” tulis mereka melalui email Amerika Ilmiah. “Varietas abelian pada akhirnya ditentukan oleh persamaan polinomial, namun dilengkapi dengan struktur kelompok. Varietas abelian memiliki banyak sifat yang mengejutkan dan merupakan keajaiban bahwa mereka ada.”

Bukti dugaan Uniform Mordell-Lang “bukan hanya solusi terhadap masalah yang telah terbuka selama 40 tahun,” kata Krieger. “Ini masuk ke inti pertanyaan paling mendasar dalam matematika. Pertanyaannya berfokus pada menemukan solusi rasional—yang dapat ditulis sebagai pecahan—untuk persamaan polinomial. Pertanyaan seperti ini sering disebut dengan masalah Diophantine.

Dugaan Mordell “adalah semacam contoh arti geometri untuk menentukan aritmatika,” kata Habegger. Kontribusi tim untuk membuktikan dugaan Uniform Mordell-Lang menunjukkan “bahwa angkanya [rational] titik-titik pada dasarnya dibatasi oleh geometri,” katanya. Oleh karena itu, membuktikan Seragam Mordell-Lang tidak memberikan angka pasti kepada ahli matematika tentang berapa banyak solusi rasional yang akan ada untuk genus tertentu. Namun hal ini memberi tahu mereka jumlah maksimum solusi yang mungkin. .

Pembuktian tahun 2021 tentunya bukanlah bab terakhir dari permasalahan yang merupakan cabang dari dugaan Mordell. “Keindahan dugaan awal Mordell adalah bahwa hal itu membuka dunia pertanyaan lebih lanjut,” kata Mazur. Menurut Habegger, “pertanyaan terbuka utama adalah membuktikan Mordell Efektif”—sebuah cabang dari dugaan awal. Memecahkan masalah ini berarti memasuki bidang matematika lain yang memungkinkan Anda mengidentifikasi dengan tepat berapa banyak solusi rasional yang ada untuk skenario tertentu.

Terdapat kesenjangan yang signifikan untuk menjembatani antara informasi yang diberikan dengan membuktikan dugaan Uniform Mordell-Lang dan benar-benar menyelesaikan masalah Efektif Mordell. Mengetahui batas berapa banyak solusi rasional yang ada pada situasi tertentu “tidak benar-benar membantu Anda” memperjelas apa solusi tersebut, kata Habegger.

“Misalkan Anda mengetahui bahwa jumlah solusi paling banyak adalah satu juta. Dan jika Anda hanya menemukan dua solusi, Anda tidak akan tahu apakah masih ada solusi lainnya,” katanya. Jika ahli matematika dapat menyelesaikan Mordell dengan efisien, hal ini akan membawa mereka lebih dekat untuk dapat menggunakan algoritma komputer untuk menemukan semua solusi rasional dengan cepat daripada harus mencari satu per satu dengan susah payah.



Source link

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Proudly powered by WordPress | Theme: Funky Blog by Crimson Themes.