Matematika dan Fisika Tidak Dapat Membuktikan Semua Kebenaran

Matematika dan Fisika Tidak Dapat Membuktikan Semua Kebenaran

Oleh Manon Bischoff

Anda tidak akan pernah bisa membuktikan setiap kebenaran matematika. Bagi saya, teorema ketidaklengkapan yang ditemukan oleh Kurt Gödel ini adalah salah satu hasil paling luar biasa dalam matematika. Ini mungkin tidak mengejutkan semua orang—ada banyak hal yang tidak dapat dibuktikan dalam kehidupan sehari-hari—tetapi bagi para matematikawan, gagasan ini mengejutkan. Bagaimanapun juga, mereka dapat membangun dunia mereka sendiri dari beberapa blok bangunan dasar, yang disebut aksioma. Hanya aturan yang mereka buat yang digunakan di sana, dan semua izin terdiri dari blok penyusun dasar ini dan aturan terkaitnya. Jika Anda menemukan kerangka kerja yang tepat, seperti yang diyakini oleh para ahli sejak lama, Anda akan mampu membuktikan setiap kebenaran dengan cara tertentu.

Namun pada tahun 1931 Gödel menunjukkan sebaliknya. Akan selalu ada kebenaran yang keluar dari kerangka dasar matematika dan tidak mungkin dibuktikan. Dan ini bukan sekedar penemuan abstrak, tanpa implikasi pada situasi praktis. Tak lama setelah karya terobosan Gödel, masalah pertama yang tidak dapat dibuktikan muncul. Misalnya, tidak mungkin menghitung jumlah bilangan real yang ada dalam kerangka matematika yang digunakan. Dan permasalahan yang tidak dapat dipecahkan tidak hanya terbatas pada matematika. Misalnya, dalam permainan kartu dan komputer tertentu (seperti Magic: The Gathering), situasi dapat muncul ketika tidak mungkin menentukan pemain mana yang akan menang. Dan dalam fisika, tidak selalu mungkin untuk memprediksi apakah suatu sistem kristal akan menghantarkan listrik.

Kini para ahli, termasuk fisikawan Toby Cubitt dari University College London, telah menemukan cara lain untuk merefleksikan teorema ketidaklengkapan dalam fisika. Mereka telah menggambarkan sistem partikel yang mengalami transisi fase—perubahan yang mirip dengan transisi ketika air membeku di bawah nol derajat Celcius. Tetapi parameter kritis di mana transisi fase terjadi untuk sistem partikel tertentu tidak bisa dihitung, tidak seperti air. “Hasil kami…menggambarkan bagaimana angka-angka yang tak terhitung dapat terwujud dalam sistem fisik,” tulis para fisikawan dalam makalah pracetak yang diposting bulan lalu di server arXiv.org.

---

Tentang mendukung jurnalisme sains

Jika Anda menyukai artikel ini, pertimbangkan untuk mendukung jurnalisme pemenang penghargaan kami dengan berlangganan. Dengan membeli langganan, Anda membantu memastikan masa depan cerita yang berdampak tentang penemuan dan ide yang membentuk dunia kita saat ini.

---

Transisi Fase Tidak Dapat Ditentukan

Ini bukan pertama kalinya para ahli mengalami pergeseran fase yang tidak terduga. Pada tahun 2021 Cubitt dan dua rekannya menggambarkan sistem fisik lain yang transisinya tidak dapat diprediksi. Namun, dalam kasus ini terdapat transisi fase yang jumlahnya tak terhingga. Situasi seperti ini tidak terjadi secara alami. Oleh karena itu para peneliti bertanya pada diri sendiri apakah ketidakpastian dapat terjadi dalam sistem yang realistis.

Dalam karya barunya, Cubitt dan rekan-rekannya menyelidiki sistem yang relatif sederhana: kisi persegi berhingga yang berisi susunan beberapa partikel yang masing-masing berinteraksi dengan tetangga terdekatnya. Model seperti ini biasanya digunakan untuk mendeskripsikan benda padat. Hal ini karena atom tersusun dalam struktur yang teratur, dan elektron dapat berinteraksi dengan atom di sekitarnya. Dalam model Cubitt, kekuatan interaksi antar elektron bergantung pada parameter φ-yang lebih besar φ Artinya, semakin kuat partikel-partikel dalam kulit atom saling tolak menolak.

Jika penolakan φ berukuran kecil, elektron terluar bersifat mobile: mereka dapat melompat bolak-balik antar inti atom. Semakin kuat φ adalah, semakin banyak elektron yang membeku di tempatnya. Perilaku yang berbeda ini juga tercermin dalam energi sistem. Anda dapat melihat keadaan dasar (jumlah energi terendah) dan keadaan energi tertinggi berikutnya. Jika φ sangat kecil, energi total sistem dapat bertambah terus menerus. Hasilnya, sistem mengalirkan listrik tanpa masalah. Untuk nilai yang besar φ, Namun, situasinya berbeda. Dengan nilai seperti itu, energi hanya meningkat secara bertahap. Terdapat kesenjangan antara keadaan dasar dan keadaan tereksitasi pertama. Dalam hal ini—bergantung pada besarnya celah—sistemnya akan berupa semikonduktor atau isolator.

Hingga saat ini, fisikawan telah menciptakan ribuan model serupa untuk mendeskripsikan semua jenis padatan dan kristal. Namun karena sistem yang dihadirkan Cubitt dan rekannya menunjukkan dua perilaku berbeda, maka harus ada transisi antara fase penghantar dan isolasi. Dengan kata lain, ada nilai φ di atasnya spektrum energi sistem tiba-tiba mengalami kesenjangan.

Angka yang Tak Terhitung

Cubitt dan timnya telah menentukan nilainya φ dimana kesenjangan ini terjadi. Dan ini sesuai dengan apa yang disebut konstanta Chaitin Ω—angka yang mungkin terdengar familier bagi para penggila matematika karena merupakan salah satu dari sedikit contoh bilangan tak terhitung yang diketahui. Ini adalah bilangan irasional yang tempat desimalnya berlangsung selamanya dan tidak pernah berulang secara teratur. Dibandingkan dengan bilangan irasional yang dapat dihitung seperti π atau e, namun, nilai suatu bilangan yang tak terhitung tidak dapat diperkirakan dengan ketepatan yang sewenang-wenang. Tidak ada algoritma yang, jika dijalankan dalam jangka waktu tak terbatas, akan menghasilkan Ω. Jika Ω tidak dapat dihitung, maka juga tidak mungkin untuk menentukan kapan terjadi transisi fase dalam sistem yang dipelajari oleh Cubitt dan rekan-rekannya.

Matematikawan Argentina-Amerika Gregory Chaitin mendefinisikan Ω dengan tujuan untuk menemukan bilangan yang tak terhitung. Untuk melakukan ini, ia menggunakan masalah kebuntuan yang terkenal dari ilmu komputer: menurutnya, tidak ada mesin yang dapat menilai, untuk semua algoritma yang mungkin, apakah komputer yang menjalankannya akan berhenti pada suatu saat atau tidak. Jika Anda memberikan algoritma apa pun pada komputer, Anda dapat menilai apakah algoritma tersebut dapat dieksekusi dalam waktu terbatas. Tapi jelas tidak ada metode yang bisa melakukan ini untuk semua kode program yang mungkin. Oleh karena itu, masalah penghentian juga merupakan penerapan langsung dari teorema ketidaklengkapan Gödel.

Konstanta Chaitin Ω sesuai dengan probabilitas bahwa model teoritis komputer (mesin Turing) berhenti untuk setiap masukan yang diberikan:

Dalam persamaan ini P menunjukkan semua program yang berhenti setelah waktu proses yang terbatas, dan |P| menggambarkan panjang program dalam bit. Untuk menghitung konstanta Chaitin secara akurat, Anda perlu mengetahui program mana yang dapat ditahan dan mana yang tidak—yang mana hal ini tidak mungkin dilakukan, mengingat masalah penangguhan tersebut. Meskipun pada tahun 2000 ahli matematika Cristian Calude dan rekan-rekannya berhasil menghitung beberapa digit pertama konstanta Chaitin, 0,0157499939956247687…, tidak mungkin menemukan semua tempat desimal.

Dengan demikian, tim Cubitt telah mampu membuktikan secara matematis bahwa model fisiknya mengalami transisi fase nilai φ = Ω : berubah wujud dari konduktor menjadi isolator. Namun, karena Ω tidak dapat dihitung secara tepat, diagram fase sistem fisik juga tidak dapat ditentukan. Jelasnya, hal ini tidak ada hubungannya dengan fakta bahwa komputer saat ini tidak cukup kuat atau tidak ada cukup waktu untuk menyelesaikan masalah—tugas tersebut tidak dapat diselesaikan. “Hasil kami mencerminkan kemungkinan yang tak terhitung banyaknya muncul sebagai titik transisi fase dalam model mirip fisika, meskipun semua data mikroskopis yang mendasarinya dapat dijelaskan sepenuhnya,” tulis para fisikawan dalam makalah mereka.

Secara teknis keakuratan konstanta Chaitin dapat ditentukan sehingga cukup untuk aplikasi dunia nyata. Namun karya Cubitt dan rekan-rekannya sekali lagi masih menggambarkan luasnya visi Gödel. Bahkan setelah lebih dari 90 tahun, masih ada contoh pernyataan baru yang tidak dapat dibuktikan. Ada kemungkinan bahwa masalah fisika yang tersebar luas, seperti menemukan teori segala sesuatu, dipengaruhi oleh teorema ketidaklengkapan Gödel.

Artikel ini awalnya muncul di Spektrum der Wissenschaft dan telah direproduksi dengan izin.