Matematikawan menghadiri kuliah Roger Apéry di konferensi Pusat Penelitian Ilmiah Nasional Perancis pada bulan Juni 1978 dengan banyak skeptisisme. Pemaparan bertajuk “Tentang Irasionalitas ζ(3),” yang menimbulkan kehebohan di kalangan para ahli.
Nilai fungsi zeta ζ(3) telah menjadi pertanyaan terbuka selama lebih dari 200 tahun. Matematikawan Swiss yang brilian, Leonhard Euler, memotong giginya dan gagal menyelesaikannya. Kini Apéry, seorang matematikawan Prancis yang relatif tidak dikenal berusia 60-an pada saat itu, mengklaim telah memecahkan teka-teki berusia berabad-abad ini. Banyak penonton yang ragu.
Ceramah Apéry tidak memperbaiki opini mereka. Dia berbicara dalam bahasa Prancis, terkadang melontarkan lelucon dan mengabaikan penjelasan penting terkait bukti. Pada awalnya, misalnya, dia menulis persamaan yang tidak diketahui oleh siapa pun di ruangan itu, tetapi menjadi inti pembuktiannya. Ketika ditanya dari mana kemiripan ini berasal, Apéry menjawab, “Mereka tumbuh di taman saya,” yang kabarnya menyebabkan banyak penonton berdiri dan meninggalkan ruangan.
Tentang mendukung jurnalisme sains
Jika Anda menyukai artikel ini, pertimbangkan untuk mendukung jurnalisme pemenang penghargaan kami dengan berlangganan. Dengan membeli langganan, Anda membantu memastikan masa depan cerita yang berdampak tentang penemuan dan ide yang membentuk dunia kita saat ini.
Namun seseorang yang hadir memiliki kalkulator elektronik—alat yang tidak umum pada saat itu—dan, dengan program singkat, memeriksa persamaan Apéry dan menemukan persamaan tersebut benar. Dengan itu, Apéry sekali lagi menarik perhatian ruangan itu. “Bukti luar biasa Apéry nampaknya merupakan campuran antara keajaiban dan misteri,” tulis ahli matematika Alfred van der Poorten, yang menghadiri kuliah tersebut.
Para ahli memerlukan waktu beberapa minggu untuk memahami dan meninjau rincian bukti. Apéry tidak terlalu memudahkan tugas mereka: pada satu pertemuan, misalnya, dia mulai berbicara tentang keadaan bahasa Perancis alih-alih mengabdikan dirinya pada matematika. Namun setelah sekitar dua bulan, menjadi jelas bahwa Apéry telah berhasil melakukan apa yang tidak dapat dilakukan Euler 200 tahun sebelumnya. Ia mampu menunjukkan bahwa ζ(3) merupakan bilangan irasional.
Perpanjangan ke Bilangan Prima
Sejarah fungsi zeta sudah ada sejak lama. Pada tahun 1644, matematikawan Italia Pietro Mengoli bertanya-tanya apa yang akan terjadi jika Anda menjumlahkan kebalikan dari semua bilangan kuadrat: 1 + 1⁄4 + 1⁄9 + … Namun dia tidak bisa menghitung hasilnya. Pakar lain juga gagal dalam tugas tersebut, termasuk keluarga ilmuwan terkenal Bernoulli di Basel, Swiss. Faktanya, dibutuhkan waktu 90 tahun lagi sebelum penduduk kota lainnya, Euler yang berusia 27 tahun, menemukan solusi untuk masalah Basel: Euler menghitung jumlah tak terhingga menjadi π2⁄6.
Namun Euler memutuskan untuk mengabdikan dirinya pada masalah yang lebih umum yang ada. Dia tertarik pada berbagai macam soal, termasuk mencari jumlah kebalikan dari bilangan bulat, bilangan pangkat empat, dan seterusnya. Untuk melakukan ini, Euler memperkenalkan fungsi zeta yang disebut ζ(S), yang berisi penjumlahan tak terbatas:

Masalah Basel hanyalah salah satu dari banyak fungsi zeta dan berhubungan dengan nilai ζ(2). Euler ingin menemukan solusinya semua nilai fungsi zeta. Dan dia benar-benar berhasil menghitung hasil untuk nilai genap, S = 2k. Dalam hal ini,

Di mana P Dan Q adalah bilangan bulat, sehingga jawabannya selalu berupa bilangan irasional.
Namun Euler tidak bisa menjelaskan bagaimana hasilnya berubah kapan S adalah bilangan ganjil. Dia mampu menghitung tempat desimal pertama dari hasilnya tetapi tidak dapat menghitung nilai numerik pastinya. Dia tidak dapat menentukan apakah fungsi zeta untuk bilangan ganjil juga mengasumsikan nilai irasional atau apakah hasilnya dapat direpresentasikan sebagai pecahan.
Pada tahun-tahun dan dekade berikutnya, fungsi zeta mendapat banyak perhatian—dan menjadi terkait dengan salah satu misteri terbesar dalam matematika saat ini. Pada abad kesembilan belas, matematikawan Jerman Bernhard Riemann tidak hanya mengevaluasi fungsi zeta untuk bilangan asli S tetapi juga untuk bilangan kompleks: nilai riil yang dapat memuat akar kuadrat dari bilangan negatif. Pada tahun 1859 perubahan tersebut memungkinkan dia untuk menyatakan apa yang kemudian dikenal sebagai hipotesis Riemann yang terkenal. Dengan demikian pada prinsipnya seseorang dapat menentukan sebaran bilangan prima sepanjang garis bilangan. Karena memahami bilangan prima penting tidak hanya untuk teori bilangan tetapi juga memiliki penerapan pada bidang seperti kriptografi, yang mengandalkan pembangkitan bilangan prima untuk enkripsi yang aman, pertaruhan seputar misteri ini sangatlah tinggi. Siapa pun yang dapat memecahkan hipotesis Riemann berpeluang memenangkan hadiah jutaan dolar.
Meskipun semua perhatian diberikan pada fungsi zeta, belum ada yang berhasil menentukan nilai pasti dari ζ(3)—apalagi menemukan rumus yang secara umum berlaku untuk semua nilai ganjil dari fungsi zeta, seperti yang berhasil dilakukan Euler. lakukan untuk bilangan genap. Segalanya menjadi sangat menarik ketika ζ(3) muncul dalam fisika pada abad ke-20.
Fungsi Riemann Zeta dalam Fisika
Pada awal abad ke-20, fisikawan menemukan mekanika kuantum: sebuah teori radikal yang membalikkan pemahaman sebelumnya tentang alam. Di sini batas antara partikel dan gelombang menjadi kabur; nilai-nilai tertentu, seperti energi, hanya muncul dalam potongan-potongan (terkuantisasi), dan rumus hukum alam mengandung ketidakpastian yang tidak didasarkan pada kesalahan pengukuran tetapi hasil matematika itu sendiri.
Pada tahun 1940-an para peneliti berhasil merumuskan teori kuantum elektromagnetisme. Antara lain, teori ini menetapkan bahwa ruang hampa tidak pernah benar-benar kosong. Sebaliknya, ia mungkin berisi pertunjukan kembang api pasangan partikel-antipartikel yang berumur pendek, materi yang tampaknya tercipta dari ketiadaan tetapi langsung musnah kembali.
Jika Anda ingin mendeskripsikan proses elektrodinamik, seperti hamburan dua elektron, Anda harus memperhitungkan suar partikel yang terus menerus ini. Hal ini karena pasangan partikel-antipartikel yang bersifat sementara dapat membelokkan elektron dari lintasannya. Ternyata jika ingin menjelaskan efek ini, muncul jumlah tak hingga dengan kebalikan kubus, ζ(3).
Untuk perhitungan fisika, cukup mengetahui nilai numerik ζ(3) hingga beberapa tempat desimal. Namun para ahli matematika ingin mengetahui lebih banyak tentang angka-angka ini.
bukti Apéry
Apéry dapat menentukan bahwa ζ(3) tidak rasional, sama seperti fungsi zeta dari nilai genap. Pembuktiannya didasarkan pada representasi deret ζ(3) yang sebelumnya tidak diketahui—sebuah persamaan aneh yang diduga ia temukan di kebunnya:

Dengan ungkapan tersebut, ia mampu menggunakan kondisi irasionalitas yang diturunkan oleh matematikawan Jerman Gustav Lejeune Dirichlet pada abad ke-19. Dinyatakan bahwa bilangan χ adalah irasional jika jumlah bilangan bulatnya tak terhingga P Dan Q dengan bagian yang berbeda, sehingga terpenuhi pertidaksamaan berikut:

Di Sini C dan δ menunjukkan nilai konstan. Meskipun rumusnya terlihat rumit, pada dasarnya χ dapat dengan mudah didekati dengan pecahan, namun tidak ada bilangan pecahan yang sesuai dengan χ. Apéry berhasil memperoleh pertidaksamaan ini untuk ζ(3). Sejak itu jelas: ζ(3) tidak rasional.
Untuk menghormati karya matematikawan Perancis tersebut, nilai ζ(3) sekarang menggunakan namanya dan dikenal sebagai konstanta Apéry. Namun hal ini tidak menjawab semua pertanyaan yang terkait dengannya. Para ahli masih menginginkan nilai numerik yang jelas untuk ζ(3) yang dapat dinyatakan menggunakan konstanta yang diketahui, seperti ζ(2) = π2/6, misalnya. Namun kita masih jauh dari mimpi tersebut saat ini.
Artikel ini awalnya muncul di Spektrum der Wissenschaft dan telah direproduksi dengan izin.